Effets nonlinéaires dans les systèmes quantiques
G. Reinisch

lundi 29 novembre 2010 par Ponty Yannick

Effets nonlinéaires dans les systèmes quantiques à plusieurs particules : condensats de Bose-Einstein et gaz d’atomes froids

Collaborations : V. Gudmundsson (U. d’Islande, Reykjavik) ; D. Schuch (U. Francfort, Allemagne) : X. Waintal (CEA-Grenoble) ; P.Y. Longaretti (LAOG-OSUG, Grenoble)

 

Les thèmes de recherche développés concernent l’interface entre la physique quantique à N particules et la physique nonlinéaire. En 1954, Schafroth, avec l’aide de W. Pauli et H. Frölich, avait proposé un condensat de Bose-Einstein chargé négativement et confiné dans un puits harmonique comme premier modèle de supraconductivité. Il ne put cependant donner que la solution quasi-classique de type Thomas-Fermi pour le système différentiel nonlinéaire « Schrödinger-Poisson » correspondant1. Nous souhaitons définir cette transition quantique-classique en fonction de la nonlinéarité du système (i.e. de l’importance des interactions coulombiennes entre les particules par rapport au piégeage parabolique) et plus spécifiquement de la non-orthogonalité des états propres nonlinéaires. Ceci afin d’en dégager des propriétés physiques expérimentales susceptibles de valider une telle approche quantique nonlinéaire « ab initio ».

La notion de vecteurs/valeurs propres discrètes d’un système différentiel quelconque n’est en rien dépendante de l’existence d’un espace vectoriel associé. Il s’agit simplement de définir –dans le cas présent : numériquement— une solution stationnaire du système différentiel nonlinéaire SP qui soit régulière –c’est-à-dire de carré intégrable. Par contre, la définition du processus physique associé à l’amplitude de probabilité –ou produit scalaire Hilbertien— entre deux « vecteurs propres nonlinéaires » est beaucoup plus délicate. En effet, elle prédit l’existence d’états quantiques propres du système différentiel SP qui, du fait de leur non-orthogonalité, seraient à la fois stationnaires et mixtes.

Une première tentative pour lui donner un sens a été faite dans le cas d’un confinement central Coulombien2. Récemment, on a cherché à étendre ces concepts au cas d’un confinement parabolique3. Seules des mesures expérimentales concernant la probabilité pour le système d’être dans un état à la fois stationnaire et mixte permettraient de valider sans ambigüité l’interprétation physique de ce produit scalaire –ou intégrale de recouvrement entre les deux fonctions d’onde nonlinéaires. C’est le but de cette recherche de proposer de telles mesures, par exemple dans le cas d’un puits quantique piégeant une paire de Cooper (« quantum-dot helium ») ou pour tout autre condensat de Bose-Einstein à particules chargées.

Notons cependant que dans le double cas limite d’un grand nombre de particules et d’un modèle d’interactions à sphères dures (équation dite de « Gross-Pitaevskii »), une analyse différentielle reposant sur la notion de tels « vecteurs propres nonlinéaires » a été menée avec succès. En particulier, la définition du paramètre d’ordre N comme norme de ces derniers a conduit à la détermination du seuil d’apparition des vortex en parfait accord avec les expériences4. Ainsi le concept de « vecteur propre nonlinéaire » a bien été expérimentalement validé, mais seulement dans ce cas particulier où le potentiel interactif a une très faible portée.

1 M. R. Schafroth, Phys. Rev. 96, 1149 (1954) ; 96, 1442 (1954) ; 100, 463 (1955)

2 G. Reinisch, « Nonlinear Quantization of a Degenerate Charged Bose Gas in a External Coulomb Trap », Phys. Rev. A70, 033613 (2004)

3 G. Reinisch & V. Gudmundsson, « Nonlinear Schrödinger-Poisson Theory for Quantum-Dot Helium », arXiv : 0906.4650 v1, 25 juin 2009

4 G. Reinisch, « Vortex-nucleating Zeeman Resonance in Axisymmetric Rotating Bose-Einstein Condensates”, Phys. Rev. Lett. 99, 120402 (2007)